已知函数f(x)=ax3+bx2+cx-3a(a,b,c∈R且a≠0),当x=-1时,f(x)取到极大值2.(1)用a分别表示b和c;(2)当a=l时,求f(x
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已知函数f(x)=ax3+bx2+cx-3a(a,b,c∈R且a≠0),当x=-1时,f(x)取到极大值2. (1)用a分别表示b和c; (2)当a=l时,求f(x)的极小值; (3)求a的取值范围. |
答案
(1)∵函数f(x)=ax3+bx2+cx-3a,∴f′(x)=3ax2 +2bx+c. 由题意可得 ,即 ,解得 . (2)当a=l时,b=2,c=1,函数f(x)=x3 +2x2 +x-3, 令f′(x)=3x2 +4x+1=(3x+1)(x+1)=0,可得x=-1 x=-. 在(-∞,-1)、(-,+∞)上,f′(x)<0,在(-1,-)上f′(x)>0, 故当 x=-时,函数f(x)有极小值为f(-)=-. (3)由(1)得f′(x)=3ax2+2(a+1)x+2-a=3a(x+1)(x-), 令f′(x)=0解得x1=-1,x2=, ∴要使f(x)极大值为f(-1)=2, 则 ,或 . 解得 a>. |
举一反三
已知曲线C:y=2x3-3x2-2x+1,点P(,0),求过P点的切线l与曲线C所围成的图形的面积. |
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常数a,b∈R,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程. |
曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为______. |
曲线y=-在点(1,-2)处的切线方程为______. |
曲线C:f(x)=ex+sinx+1在x=0处的切线方程为 . |
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