已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.(Ⅰ)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;(Ⅱ)过点A(0,16)作曲线y=f

已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.(Ⅰ)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;(Ⅱ)过点A(0,16)作曲线y=f

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已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.
(Ⅰ)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;
(Ⅱ)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程.
答案
(Ⅰ)f"(x)=3ax2+2bx-3,依
题意,f"(1)=f"(-1)=0,





3a+2b-3=0
3a-2b-3=0.

解得a=1,b=0.
∴f(x)=x3-3x,f"(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).
令f"(x)=0,得x=-1,x=1.
若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),
则f"(x)>0,
故f(x)在(-∞,-1)上是增函数,f(x)在(1,+∞)上是增函数.
若x∈(-1,1),
则f"(x)<0,故f(x)在(-1,1)上是减函数.
所以,f(-1)=2是极大值;f(1)=-2是极小值.
(Ⅱ)曲线方程为y=x3-3x,点A(0,16)不在曲线上.
设切点为M(x0,y0),
则点M的坐标满足y0=x03-3x0
因f"(x0)=3(x02-1),
故切线的方程为y-y0=3(x02-1)(x-x0
注意到点A(0,16)在切线上,有16-(x03-3x0)=3(x02-1)(0-x0
化简得x03=-8,
解得x0=-2.
所以,切点为M(-2,-2),切线方程为9x-y+16=0.
举一反三
若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值,则a的取值范围为______.
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已知数列{Pn}满足:(1)P1=
2
3
P2=
7
9
;(2)Pn+2=
2
3
Pn+1+
1
3
Pn

(Ⅰ)设bn=Pn+1-Pn,证明数列{bn}是等比数列;
(Ⅱ)求
lim
n→∞
Pn
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已知函数f(x)=
x2+1
x-1
,其图象在点(0,-1)处的切线为l.
(I)求l的方程;
(II)求与l平行的切线的方程.
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函数f(x)=x3-2x2的图象在点(1,-1)处的切线方程为______.
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已知函数f(x)=ax3+bx2+cx-3a(a,b,c∈R且a≠0),当x=-1时,f(x)取到极大值2.
(1)用a分别表示b和c;
(2)当a=l时,求f(x)的极小值;
(3)求a的取值范围.
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