已知函数f(x)=-x2+ax+1-lnx.且在x=1处取得极值;(Ⅰ)求a的值;并求函数f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区
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已知函数f(x)=-x2+ax+1-lnx.且在x=1处取得极值; (Ⅰ)求a的值;并求函数f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间. |
答案
(Ⅰ)要使函数有意义,则x>0. 函数的导数为f′(x)=-2x+a-,因为函数在x=1处取得极值,所以f"(1)=-2+a-1=0,解得a=3. 所以f(x)=-x2+3x+1-lnx,f′(x)=-2x+3-, 所以f(2)=-4+6+1-ln2=3-ln2,f′(2)=-4+3-=-, 所以函数f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(3-ln2)=-(x-2),即y=-x+6+ln2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=-2x+3-=, 由f′(x)=>0,即2x2-3x+1<0,解得<x<1, 即函数的增区间为(,1). 由f′(x)=<0,得2x2-3x+1>0,解得0<x<或x>1, 即函数的减区间为(0,)和(1,+∞). |
举一反三
已知函数y=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3;则2a+b=______. |
设函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx,其中a∈R. (Ⅰ)若函数f(x)的图象在点(a,f(a))处的切线与直线x-y=0平行,求实数a的值; (Ⅱ)求函数f(x)的极值. |
已知a>0,函数f(x)=,x∈(0,+∞).设0<x1<,记曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l (1)求l的方程; (2)设l与x轴交点为(x2,0),求证:①0<x2≤; ②若0<x1<,则x1<x2<2x1. |
若曲线y=2x2+1在点M处的切线的斜率为-4,则点M的坐标为______. |
已知函数f(x)=x3-x2-3x+1. (1)求f′(x)和f′(2); (2)求f(x)的单调区间; (3)求f(x)的极值. |
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