设函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx,其中a∈R.(Ⅰ)若函数f(x)的图象在点(a,f(a))处的切线与直线x-y=0平行,求实数a的值;(Ⅱ)求函数

设函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx,其中a∈R.(Ⅰ)若函数f(x)的图象在点(a,f(a))处的切线与直线x-y=0平行,求实数a的值;(Ⅱ)求函数

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设函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx,其中a∈R.
(Ⅰ)若函数f(x)的图象在点(a,f(a))处的切线与直线x-y=0平行,求实数a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值.
答案
(Ⅰ)函数f(x)的定义域是{x|x>0}.…(1分)
对f(x)求导数,得f′(x)=2x-(a+2)+
a
x
=
2x2-(a+2)x+a
x
.…(3分)
由题意,得a>0,且f′(a)=1,
解得a=2.…(5分)
(Ⅱ)由f′(x)=0,得方程2x2-(a+2)x+a=0,
一元二次方程2x2-(a+2)x+a=0存在两解x1=1,x2=
a
2
,…(6分)
当x2≤0时,即当a≤0时,随着x的变化,f(x)与f′(x)的变化情况如下表:
解析
举一反三
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x(0,1)1(1,+∞)
f′(x)-0+
f(x)极小值
x(0,
a
2
)
a
2
(
a
2
,1)
1(1,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)极大值极小值
已知a>0,函数f(x)=
1-ax
x
,x∈(0,+∞).设0<x1
2
a
,记曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l
(1)求l的方程;
(2)设l与x轴交点为(x2,0),求证:①0<x2
1
a
; ②若0<x1
1
a
,则x1<x2<2x1
若曲线y=2x2+1在点M处的切线的斜率为-4,则点M的坐标为______.
已知函数f(x)=
1
3
x3-x2-3x+1

(1)求f′(x)和f′(2);
(2)求f(x)的单调区间;
(3)求f(x)的极值.
函数y=2sinx(x∈[0,π])在点P处的切线与函数y=lnx+
1
2
x2在点Q处切线平行,则直线PQ的斜率是______.
已知曲线C:y=lnx-4x与直线x=1交于一点P,那么曲线C在点P处的切线方程是 ______.