曲线y=x3在点（a，a3）（a＞0）处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为16，则a=______．

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曲线y=x³在点（a，a³）（a＞0）处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为

，则a=______．

答案

∵y=x³，
∴y"=3x²，当x=a时，y"=3得切线的斜率为3a²，所以k=3a²；
所以曲线在点（a，a³）处的切线方程为：
y-a³=3a²×（x-a），即3a²x-y-2a³=0．
令y=o得：x=

a，
∴切线与x轴、直线x=1所围成的三角形的面积为：
S=

×（a-

）×a3=

∴a=1
故答案为1．

举一反三

已知曲线y=x³-x在点（x₀，y₀）处的切线平行于直线y=2x，则x₀=______．

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已知函数f（x）=ax³+b，其图象在点P处的切线为l：y=4x-4，点P的横坐标为2（如图）．求直线l、直线x=0、直线y=0以及f（x）的图象在第一象限所围成区域的面积．魔方格

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已知函数f（x）=e^x+ax，g（x）=e^xlnx．（其中e为自然对数的底数），
（Ⅰ）设曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+（e-1）y=1垂直，求a的值；
（Ⅱ）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=-1时，是否存在实数x₀∈[1，，e]，使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀
处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

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在直角坐标系xOy中，设A点是曲线C₁：y=ax³+1（a＞0）与曲线C2：x2+y2=

的一个公共点，若C₁与C₂在A点处的切线互相垂直，则实数a的值是______．

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若函数f（x）=x³-3bx+b在区间（0，1）内有极小值，则b应满足的条件是______．

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