已知函数 f(x)的导数.f′(x)=3x2-3ax,f(0)=b,a,b为实数,1<a<2.(1) 若f(x)在区间_[-1,1]_上的最小值、最大值分别为-
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已知函数 f(x)的导数.f′(x)=3x2-3ax,f(0)=b,a,b为实数,1<a<2. (1) 若f(x)在区间_[-1,1]_上的最小值、最大值分别为-2、1,求a,b的值; (2) 在(1)的条件下,求曲线在点P(2,1)处的切线方程. |
答案
(1)由已知f′(x)=3x2-3ax,f(0)=b, 得f(x)=x3-ax2+b, 由f′(x)=0即3x2-3ax=3x(x-a),解得x=0或x=a, ∵x∈[-1,1],1<a<2, ∴当x∈[-1,0)时,f′(x)>0,f(x)单调增;当x∈(0,1]时,f′(x)<0,f(x)单调减, ∴f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(0)=b,∴b=1, 又f(1)=1-a+1,f(-1)=-1-a+1=-a,∴f(-1)<f(1) 由题意得最小值为f(-1)=-2,即-a=-2,解得a=. 故a=,b=1为所求; (2)由(1)得f(x)=x3-2x2+1,f′(x)=3x2-4x, 点P(2,1)在曲线f(x)上, 当切点为P(2,1)时,切线l的斜率k=f′(x)|x=2=4, ∴切线l的方程为y-1=4(x-2),即4x-y-7=0. |
举一反三
曲线y=-在点(,-2)处的切线斜率为______,切线方程为______. |
已知曲线y=x3+,则曲线在x=2处的切线方程是______. |
曲线y=x3在点(a,a3)(a>0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为,则a=______. |
已知曲线y=x3-x在点(x0,y0)处的切线平行于直线y=2x,则x0=______. |
已知函数f(x)=ax3+b,其图象在点P处的切线为l:y=4x-4,点P的横坐标为2(如图).求直线l、直线x=0、直线y=0以及f(x)的图象在第一象限所围成区域的面积. |
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