已知过函数f(x)=x3+ax2+1的图象上一点B(1,b)的切线的斜率为-3.(1)求a,b的值;(2)求A的取值范围,使不等式f(x)≤A-1992对于x∈
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已知过函数f(x)=x3+ax2+1的图象上一点B(1,b)的切线的斜率为-3. (1)求a,b的值; (2)求A的取值范围,使不等式f(x)≤A-1992对于x∈[-1,4]恒成立; (3)令g(x)=-f(x)-3x2+tx+1.是否存在一个实数t,使得当x∈(0,1]时,g(x) 有最大值1? |
答案
(1)f′(x)=3x2+2ax, ∵过函数f(x)=x3+ax2+1的图象上一点B(1,b)的切线的斜率为-3 ∴f′(1)=-3, ∴a=-3, 将(1,b)代入函数f(x)=x3-3x2+1,可得b=-1 (2)令h(x)=f(x)+1992,则使不等式f(x)≤A-1992对于x∈[-1,4]恒成立 问题转化为h(x)≤A对于x∈[-1,4]恒成立,从而求h(x)在[-1,4]上的最大值即可. 求导数h′(x)=3x2-6x=3x(x-2), 则函数在(-1,0),(2,4)上,h′(x)>0,函数为单调增函数, 在(0,2)上,h′(x)<0,函数为单调减函数 ∵h(-1)=1987,h(0)=1993,h(4)=2009 ∴函数在x=4处取得最大值2009. 故A≥2009 (3)∵g(x)=-f(x)-3x2+tx+1=-x3+tx,∴g′(x)=-3x2+t 当t≤0时,函数单调递减,函数在x∈(0,1]无最大值; 当t∈(0,3)时,函数在x∈(0,1]上先增后减,gmax(x)=g()=1,此时t=符合题意 当t≥3时,函数在x∈(0,1]上单调递增,∴gmax(x)=g(1)=1, ∵g(x)=-f(x)-3x2+tx+1=-x3+tx,∴t-1=1, ∴t=2,不满足t≥3,舍去 故t= |
举一反三
函数f(x)=x3-6x+a的极大值为______,极小值为______. |
函数y=e2x图象上的点到直线2x-4y-4=0距离的最小值是______. |
曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程______. |
已知曲线y=-3lnx的一条切线的斜率为,,则切点的横坐标为______. |
已知函数f (x)=x2-2lnx,则f (x)的极小值是______. |
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