(1)f′(x)=(x-1)2+2x(x-1)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1),x>0.令f′(x)=0,得x=或x=1,f(x),f′(x)随x的变化情况如下表
∴当x=时,有极大值f()=,当x=1时,有极小值f(1)=0. (2)由(1)知:f(x)在(0,],[1,+∞)上是增函数,在[,1]上是减函数, ①0<a≤时,F(a)=a(a-1)2,G(a)=(a-1)2≥ 特别的,当a=时,有G(a)=, ②当<a≤1时,F(a)=f()=,G(a)=≥ 特别的,当a=1时,有G(a)=, 由①②知,当0<a≤1时,函数G(a)=的最小值为. (3)由已知得h1(x)=x+m-g(x)=2x2-3x-lnx+m-t≥0在(0,+∞)上恒成立, ∵h′1(x)=, ∴x∈(0,1)时,h′1(x)<0,x∈(1,+∞)时,h1(x)>0 ∴x=1时,h′1(x)取极小值,也是最小值, ∴当h1(1)=m-t-1≥0,m≥t+1时,h1(x)≥0在(0,+∞)上恒成立, 同样,h2(x)=f(x)-x-m=x3-2x2-m≥0在(0,+∞)上恒成立, ∵h′2(x)=3x(x-), ∴x∈(0,)时,h′2(x)<0,x∈(,+∞),h′2(x)>0, ∴x=时,h2(x)取极小值,也是最小值, ∴h2()=--m≥0,m≤-时,h2(x)≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴t+1≤m≤-, ∵实数m有且只有一个,∴m=-,t=-. |