设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值

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设函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立，求c的取值范围．

答案

（Ⅰ）f"（x）=6x²+6ax+3b，
因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f"（1）=0，f"（2）=0．
即

6+6a+3b=0 24+12a+3b=0

解得a=-3，b=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x³-9x²+12x+8c，f"（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
当x∈（0，1）时，f"（x）＞0；
当x∈（1，2）时，f"（x）＜0；
当x∈（2，3）时，f"（x）＞0．
所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．
则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．
因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c²恒成立，
所以9+8c＜c²，
解得c＜-1或c＞9，
因此c的取值范围为（-∞，-1）∪（9，+∞）．