已知函数f(x)=x2+alnx的图象与直线l:y=-2x+c相切,切点的横坐标为1.(1)求函数f(x)的表达式和直线l的方程;(2)求函数f(x)的单调区间
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已知函数f(x)=x2+alnx的图象与直线l:y=-2x+c相切,切点的横坐标为1. (1)求函数f(x)的表达式和直线l的方程; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)若不等式f(x)≥2x+m对f(x)定义域内的任意x恒成立,求实数m的取值范围. |
答案
(1)因为f′(x)=2x+,所以-2=f"(1)=2+a,所以a=-4 所以f(x)=x2-4lnx…(2分) 所以f(1)=1,所以切点为(1,1),所以c=3 所以直线l的方程为y=-2x+3…(4分) (2)因为f(x)的定义域为x∈(0,+∞)所以由f′(x)=>0得x>…(6分) 由f′(x)=<0得0<x<…(7分) 故函数f(x)的单调减区间为(0,),单调增区间为(,+∞)…(8分) (3)令g(x)=f(x)-2x,则g′(x)=2x--2>0(x>0)得x>2 所以g(x)在(0,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数…(10分) g(x)min=g(2)=-4ln2,所以m≤g(x)min=-4ln2…(11分) 所以当f(x)≥2x+m在f(x)的定义域内恒成立时,实数m的取值范围是(-∞,-4ln2]…(12分) |
举一反三
函数f(x)=x3在x=0处的切线方程为______. |
若曲线y=x-在点(a,a-)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则a=______. |
函数f(x)=在点(x0,f(x0))处的切线平行于x轴,则f(x0)=( ) |
函数y=3x-x3,x∈R的极大值是______. |
已知函数f(x)=x4-x2+6,则=______. |
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