已知函数f（x）=ax2-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，若数列{1f(n)}的前n项和为Sn，则S2010的值______

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已知函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，若数列{

f(n)

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₀的值______．

答案

∵f（x）=ax²-1，∴f′（x）=2ax，
所以f′（1）=2a=8，得a=4．
所以f（x）=4x²-1，
故

f(n)

4n2-1

（

2n-1

2n+1

）
∴S₂₀₁₀=

[（1-

）+（

）+…+（

2×2010-1

2×2010+1

）]
=

（1-

2×2010+1

）=

2010

4021

．
故答案为：

2010

4021

．

举一反三

已知f（x）=ax-ln（-x），x∈（-e，0），g(x)=-

ln(-x)

，其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a=-1时，f（x）的单调性、极值；
（2）求证：在（1）的条件下，|f(x)|＞g(x)+

．
（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

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曲线C：f（x）=sinx+e^x+2在x=0处的切线方程为______．

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设函数f（x）=x²-alnx与g(x)=

的图象分别交直线x=1于点A，B，且曲线y=f（x）在点A处的切线与曲线y=g（x）在点B处的切线平行（斜率相等）．
（1）求函数f（x），g（x）的表达式；
（2）当a＞1时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（3）当a＜1时，不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[

，

]上恒成立，求实数m的取值范围．

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若曲线y=e^x+a与直线y=x相切，则a的值为______．

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已知函数f（x）=x²+alnx的图象与直线l：y=-2x+c相切，切点的横坐标为1．
（1）求函数f（x）的表达式和直线l的方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若不等式f（x）≥2x+m对f（x）定义域内的任意x恒成立，求实数m的取值范围．

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