(1)当a=2时,f(x)=x+, 所以f′(x)=1-2x-2,因此f′(1)=-1. 即曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-1.…(4分) 又f(1)=3, 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-3=-(x-1), 即x+y-4=0.…(6分) (2)因为g(x)=x3-x2-3,所以g′(x)=3x2-2x. 令f"(x)=0,得x=0或x=. …(8分) ①若0<x<,则g"(x)<0,g(x)在区间(0,)上单调递减, ②若<x<2,g"(x)>0,函数g(x)在区间(,2)上单调递增, 所以当x=时,函数g(x)取得最小值-,当x=2时,函数g(x)取得最大值为1.…(13分) (3)由(2)知,函数g(x)在[,2]上的最大值g(x)max=g(2)=1. ∵在[,2]上任取s,t,都有f(s)≥g(t)成立, ∴只需当x∈[,2]时,f(x)min≥g(2)=1恒成立即可, 当a≤0时,函数f(x)在[,2]上的最小值+2a≥1不可能; 当a>0时,∵f()=+2a≥1,∴a≥. 当≤a≤4时,函数f(x)在[,2]上的最小值f()=2≥1满足题意; 当a>4时,函数f(x)在[,2]上的最小值f(2)=2+≥1满足题意; 故当a≥时,在[,2]上任取s,t,都有f(s)≥g(t)成立. |