已知函数f(x)=ax3+bx2-9x在x=3处取得极大值0.(Ⅰ)求f(x)在区间[0,1]上的最大值;(Ⅱ)若过点P(-1,m)可作曲线y=f(x)的切线有
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已知函数f(x)=ax3+bx2-9x在x=3处取得极大值0. (Ⅰ)求f(x)在区间[0,1]上的最大值; (Ⅱ)若过点P(-1,m)可作曲线y=f(x)的切线有三条,求实数m的取值范围. |
答案
(Ⅰ)∵f′(x)=3ax2+2bx-9, 且在x=3处取得极大值0. ∴ | f′(3)=27a+6b-9=0 | f(3)=27a+9b-27=0 |
| | ⇒ ∴f′(x)=-3x2+12x-9=-3(x-1)(x-3) 当x∈[0,1]时,f′(x)≤0, ∴f(x)在[0,1]上单调递减. ∴fmax(x)=f(0)=0.…(6分) (Ⅱ)设过P点的切线切曲线于点(x0,y0),则切线的斜率k=-3x02+12x0-9 所以切线方程为y=(-3x02+12x0-9)(x+1)+mw 故y0=(-3x02+12x0-9)(x0+1)+m=-x03+6x02-9x0…(9分) 要使过P可作曲线y=f(x)的切线有三条, 则方程(-3x02+12x0-9)(x0+1)+m=-x03+6x02-9x0有三解∴m=2x°3-3x°2-12x°+9,令g(x)=2x3-3x2-12x+9 则g′(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2)…(12分) 易知x=-1,2为g(x)的极值大、极小值点,又g(x)极小=-11,g(x)极大=16, 故满足条件的m的取值范围-11<m<16.…(15分) |
举一反三
已知函数f(x)=x3-bx2+2x+a,x=2是f(x)的一个极值点. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若当x∈[1,+∞)时,f(x)->a2恒成立,求a的取值范围. |
设函数f(x)=aex++b(a>0). (Ⅰ)求f(x)在[0,+∞)内的最小值; (Ⅱ)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=x,求a,b的值. |
已知函数f(x)=(x2+ax+1)ex,g(x)=2x3-3x2+a+2,其中a<0. (Ⅰ)若a=-1,求f(x)的极大值; (Ⅱ)当x∈[-1,1]时,f(x)的最小值不小于g(x)的最大值,求实数a的取值范围. |
函数f(x)=exsinx的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为( ) |
曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的斜率为( ) |
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