设函数f(x)=tx2+2t2x+t﹣1(x∈R,t>0).(I)求f (x)的最小值h(t);(II)若h(t)<﹣2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的
题型:广东省月考题难度:来源:
设函数f(x)=tx2+2t2x+t﹣1(x∈R,t>0). (I)求f (x)的最小值h(t); (II)若h(t)<﹣2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围. |
答案
解:(I)∵f(x)=t(x+t)2﹣t3+t﹣1(x∈R,t>0), ∴当x=﹣t时,f(x)取最小值f(﹣t)=﹣t2+t﹣1,即h(t)=﹣t3+t﹣1; (II)令g(t)=h(t)﹣(﹣2t+m)=﹣t3+3t﹣1﹣m, 由g′(t)=﹣3t2+3=0得 t=1,t=﹣1(不合题意,舍去) 当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019060322-96784.png) ∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)=1﹣m h(t)<﹣2t+m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立, 即等价于1﹣m<0 所以m的取值范围为m>1. |
举一反三
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+2. (1)若f(x)在x=1时,有极值﹣1,求b、c的值; (2)当b为非零实数时,f(x)是否存在与直线(b2﹣c)x+y+1=0平行的切线,如果存在,求出切线的方程,如果不存在,说明理由; (3)设函数f(x)的导函数为f′(x),记函数|f′(x)|(﹣1≤x≤1)的最大值为M,求证:M≥ . |
设函数f(x)=ln(x+a)+x2 , (1)若a= ,解关于x不等式 ; (2)证明:关于x的方程2x2+2ax+1=0有两相异解,且f(m)和f(n)分别是函数f(x)的极小值和极大值(m,n为该方程两根,且m>n). |
已知函数f(x)=﹣x3+ax2+b(a,b∈R). (1)当a>0时,函数f(x)满足f(x)极小值=1,f(x)极大值= ,试求y=f(x)的解析式; (2)当x∈[0,1]时,设f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ,若a∈[ , ]且a为常数,求θ的取值范围. |
已知α,β是三次函数 的两个极值点,且α∈(0,1),β∈(1,2),则 的取值范围是 |
[ ] |
A.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019060259-22246.png) B.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019060259-65935.png) C.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019060259-17560.png) D.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019060259-36390.png) |
已知定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+2)=f(x)+f(1)且在区间[0,1]上单调递增,那么,下列关于此函数f(x)性质的表述: ①函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称; ②函数y=f(x)是周期函数; ③当x∈[﹣3,﹣2]时,f"(x)≥0; ④函数y=f(x)的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点. 其中正确表述的番号是( ). |
最新试题
热门考点