已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=1和x=﹣1时取得极值,且f(1)=﹣1.(1)试求常数a、b、c的值;(2)试求f(x) 的单调区间;(3)
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已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=1和x=﹣1时取得极值,且f(1)=﹣1. (1)试求常数a、b、c的值; (2)试求f(x) 的单调区间; (3)试判断x=±1时函数取极小值还是极大值,并说明理由. |
答案
解:(1)∵f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=1和x=﹣1时取得极值 ∴f′(1)=f′(﹣1)=0, ∴3a+2b+c=0,① 3a﹣2b+c=0.② 又f(1)=﹣1, ∴a+b+c=﹣1.③ 由①②③解得a=,b=0,c=﹣. (2)f(x)=x3﹣x, ∴f′(x)=(x﹣1)(x+1). 令f′(x)>0,可得x<﹣1或x>1; 令f′(x)<0,可得﹣1<x<1. ∴函数的单调增区间为(﹣∞,﹣1),(1,+∞),单调减区间为(﹣1,1) (3)由(2)知,函数的单调增区间为(﹣∞,﹣1),(1,+∞), 单调减区间为(﹣1,1) ∴x=﹣1时,f(x)有极大值; x=1时,f(x)有极小值. |
举一反三
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