已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a＞0。设它们的图像有公共点，且在该点处的切线相同。（1）试用a表示b；（2）求F（x）=f（x

题型：陕西省模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0。设它们的图像有公共点，且在该点处的切线相同。
（1）试用a表示b；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）的极值；
（3）求b的最大值。

答案

解：（1）设与的公共点为，
∵，，
由题意，，
即，，
得得：或（舍去），
即有。（2），
则，
所以在上为减函数，在上为增函数，
于是函数在时有极小值，
，
无极大值。
（3）由（1）知，令，
则，
当，即时，；
当，即时，；
故在为增函数，在为减函数，
于是在上的极大值即为最大值：，
即b的最大值为。