解:(Ⅰ)f′(x)=3x2-x+b, f(x)的图象上有与x轴平行的切线,则f′(x)=0有实数解,即方程3x2-x+b=0有实数解, 由Δ=1-12b≥0,得; (Ⅱ)由题意,x=1是方程3x2-x+b=0的一个根, 设另一根为x0,则, ∴, ∴,f′(x)=3x2-x-2, 当时,f′(x)>0;当时,f′(x)<0;当x∈(1,2)时,f′(x)>0, ∴当时,f(x)有极大值, 又,f(2)=2+c,即当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值为f(2)=2+c, ∵对x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立, ∴c2>2+c,解得c<-1或c>2, 故c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞)。 |