已知函数f（x）=x3+mx2-m2x+1（m为常数，且m>0）有极大值9，（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线y=f（x）的切线，求此直线方程

题型：湖北省高考真题难度：来源：

已知函数f（x）=x³+mx²-m²x+1（m为常数，且m>0）有极大值9，
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线y=f（x）的切线，求此直线方程。

答案

解：(Ⅰ) f"(x)=3x²+2mx-m²=(x+m)(3x-m)=0，
则x=-m或x=m，
当x变化时，f"(x)与f(x)的变化情况如下表：

从而可知，当x=-m时，函数f(x)取得极大值9，
即f(-m)=-m³+m³+m³+1=9，
∴m=2。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x³+2x²-4x+1，
依题意知f"(x)=3x²+4x-4=-5，∴x=-1或x=-，
又f(-1)=6，f(-)=，
所以切线方程为y-6=-5(x+1)，或y-=-5(x+)，
即5x+y-1=0，或135x+27y-23=0。