解:(Ⅰ)因为, 而函数在x=1处取得极值2, 所以,即,解得, 所以即为所求. (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 令f′(x)=0,得x1=-1,x2=1, 则f(x)的增减性如下表:
可知,f(x)的单调增区间是[-1,1], 所以,, 所以当m∈(-1,0]时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增. (Ⅲ)由条件知,过f(x)的图象上一点P的切线l的斜率k为: , 令,则t∈(0,1], 此时,, 根据二次函数的图象性质知: 当时,;当t=1时,kmax=4; 所以,直线l的斜率k的取值范围是。 |