(1)x∈(0,e)时,f(x)=x2+2(1-lnx),f′(x)=2x-=, 令f′(x)>0得x∈(1,e);f′(x)<0得x∈(0,1). ∴f′(x)在(0,1]上单减,在[1,e)上单增; x∈[e,+∞)时,f(x)=x2+2(lnx-1),f′(x)=2x+>0对x∈[e,+∞)恒成立. ∴f(x)在[e,+∞)单调递增. 故f(x)min=f(1)=3. (2)由lnx≥=2-⇔lnx+≥2 令g(x)=lnx+(x≥1), 则g′(x)=-=, 因为x≥1,显然g"(x)≥0,所以g(x)在[1,+∞)上递增, 显然有g(x)≥g(1)=2恒成立.(当且仅当x=1时等号成立),即证. (3)当x≥e时,f(x)=x2+2(lnx-1),f′(x)=2x+,假设函数f(x)存在“中值伴侣切线”. 设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线y=f(x)上的不同两点,且0<x1<x2, 则y1=x12+2(lnx1-1),y2=x22+2(lnx2-1). 故直线AB的斜率:kAB==[x12+2(lnx1-1)]-[x22+2(lnx2-1)] | x1-x2 | =(x1+x2)+2•. 曲线在点M(x0,y0)处的切线斜率: k=f′(x0)=f′()=(x1+x2)+. 依题意得:(x1+x2)+2•=(x1+x2)+ 化简可得:=,即ln==. 设=t(t>1),上式化为由lnt=,由(2)知t>1时,lnt+>2恒成立. 所以在(1,+∞)内不存在t,使得lnt+=2成立. 综上所述,假设不成立.所以,函数f(x)不存在“中值伴侣切线”. |