已知函数f(x)=13x3+ax+b（a，b∈R）在x=2处取得极小值-43．（Ⅰ）求f（x）；（Ⅱ）求函数f（x）在[-4，3]上的最大值和最小值．

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax+b（a，b∈R）在x=2处取得极小值-

4

3

．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-4，3]上的最大值和最小值．

答案

（I）对f（x）求导函数，可得f′（x）=x²+a
∵函数在x=2处取得极小值-

4

3

，∴f′（2）=0，f（2）=-

4

3

可得4+a=0且

8

3

+2a+b=-

4

3

，解之得a=-4，b=4
∴可得f（x）=

1

3

x³-4x+4．
（II）由（I）得f′（x）=x²-4
解方程f′（x）=0，得x=2或-2
由此列出如下表格：
根据表格，可得函数f（x）在[-4，3]上的最大值为f（-2）=

28

3

，最小值为-

4

3

．