已知函数f(x)=ax+blnx.(1)当x=2时f(x)取得极小值2-2ln2,求a,b的值;(2)当b=-1时,若在区间(0,e]上至少存在一点x0,使得f
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=ax+blnx. (1)当x=2时f(x)取得极小值2-2ln2,求a,b的值; (2)当b=-1时,若在区间(0,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)<0成立,求实数a的取值范围. |
答案
(1)求导函数可得:f"(x)=a+ ∵当x=2时,f(x)取得极小值2-2ln2, ∴f"(2)=0,f(2)=2-2ln2 ∴2a+b=0,2a+bln2=2-2ln2 ∴a=1,b=-2 此时f"(x)=1- 当x∈(0,2)时,f"(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f"(x)>0 ∴当x=2时,f(x)取得极小值 ∴a=1,b=-2 (2)b=-1时,f(x)=ax-lnx,求导函数可得f"(x)=a-= 若在区间(0,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)<0成立,则f(x)=ax-lnx在区间(0,e]上的最小值<0 ①当a≤0时,f"(x)<0恒成立,f(x)在区间(0,e]上递减 由f(x)min=f(e)=ae-1<0得a<,∴a≤0符合题意 ②当0<<e,即a>时,x∈(0,),f"(x)<0,f(x)递减;x∈(,e),f"(x)>0,f(x)递增 ∴f(x)min=f()=1-ln=1+lna 由lna+1<0得a<,矛盾 ③当≥e,即0<a≤时,f(x)在(0,e]上为减函数,f(x)min=f(e)=ae-1<0 ∴0<a< 综上所述,符合条件的a的取值范围是a<. |
举一反三
已知函数f(x)=x3+ax+b(a,b∈R)在x=2处取得极小值-. (Ⅰ)求f(x); (Ⅱ)求函数f(x)在[-4,3]上的最大值和最小值. |
若函数f(x)=-x3+x在(a,10-a2)上有最大值,则实数a的取值范围为______. |
函数y=4x-x4,在[-1,2]上的最大、最小值分别为( )A.、f(1),f(-1) | B.f(1),f(2) | C.f(-1),f(2) | D.f(2),f(-1) |
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设M,m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,若M=m,则f′(x)( ) |
函数f(x)=-x3+3x在[-2,2]上的最大值是( ) |
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