函数f(x)=13x3-2x2+3x-2在区间[0,2]上最大值与最小值的和为______.
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函数f(x)=13x3-2x2+3x-2在区间[0,2]上最大值与最小值的和为______.
题型:不详
难度:
来源:
函数f(x)=
1
3
x
3
-2x
2
+3x-2在区间[0,2]上最大值与最小值的和为______.
答案
∵函数f(x)=
1
3
x
3
-2x
2
+3x-2,∴f
′
(x)=x
2
-4x+3=(x-1)(x-3),
令f
′
(x)=0,又x∈[0,2],解得x=1.
列表如下:
由表格可知:当x=1时,f(x)取得极大值,也即最大值,f(1)=
1
3
-2+3-2=-
2
3
.
由f(0)=-2,f(2)=
1
3
×
2
3
-2×
2
2
+3×2-2
=
-
4
3
.
∴f(0)<f(2).
利用表格可知:最小值为f(0).
∴函数f(x)在区间[0,2]上最大值与最小值的和=f(1)+f(0)=
-
2
3
-2=-
8
3
.
故答案为
-
8
3
.
举一反三
已知函数f(x)=e
x
-ax(e为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)如果对任意x∈[2,+∞),不等式f(x)>x+x
2
恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设n∈N
*
,求证:(
1
n
)
n
+(
2
n
)
n
+(
3
n
)
n
+…+(
n
n
)
n
<
e
e-1
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
2
+2|lnx-1|.
(1)求函数y=f(x)的最小值;
(2)证明:对任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)对于函数f(x)图象上的不同两点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)(x
1
<x
2
),如果在函数f(x)图象上存在点M(x
0
,y
0
)(其中x
0
∈(x
1
,x
2
))使得点M处的切线l
∥
AB,则称直线AB存在“伴侣切线”.特别地,当x
0
=
x
1
+
x
2
2
时,又称直线AB存在“中值伴侣切线”.试问:当x≥e时,对于函数f(x)图象上不同两点A、B,直线AB是否存在“中值伴侣切线”?证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=ax+blnx.
(1)当x=2时f(x)取得极小值2-2ln2,求a,b的值;
(2)当b=-1时,若在区间(0,e]上至少存在一点x
0
,使得f(x
0
)<0成立,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=
1
3
x
3
+ax+b
(a,b∈R)在x=2处取得极小值
-
4
3
.
(Ⅰ)求f(x);
(Ⅱ)求函数f(x)在[-4,3]上的最大值和最小值.
题型:不详
难度:
|
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若函数f(x)=-
1
3
x
3
+x在(a,10-a
2
)上有最大值,则实数a的取值范围为______.
题型:不详
难度:
|
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