已知定义在区间[-2,t](t>-2)上的函数f(x)=(x2-3x+3)ex.(Ⅰ)当t>1时,求函数y=f(x)的单调区间;(Ⅱ)设m=f(-2),n=f(

已知定义在区间[-2,t](t>-2)上的函数f(x)=(x2-3x+3)ex.(Ⅰ)当t>1时,求函数y=f(x)的单调区间;(Ⅱ)设m=f(-2),n=f(

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已知定义在区间[-2,t](t>-2)上的函数f(x)=(x2-3x+3)ex
(Ⅰ)当t>1时,求函数y=f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设m=f(-2),n=f(t).试证明:m<n;
(Ⅲ)设g(x)=f(x)+(x-2)ex,当x>1时试判断方程g(x)=x根的个数.
答案
(Ⅰ)因为f′(x)=(x2-3x+3)•ex+(2x-3)•ex=x(x-1)•ex
当t>1时,由f′(x)>0,可得t>x>1或-2<x<0;由f′(x)<0,可得0<x<1
所以f(x)在(-2,0),(1,t)上递增,在(0,1)上递减.
(Ⅱ)证明:由f′(x)>0,可得x>1或x<0;由f′(x)<0,可得0<x<1
所以f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减,所以f(x)在x=1处取得极小值f(1)=e.
又∵f(-2)=13e-2<e,所以f(x)仅在x=-2处取得[-2,t]上的最小值f(-2)
从而当t>-2时,f(-2)<f(t),即m<n.
(Ⅲ)设g(x)=f(x)+(x-2)ex=(x-1)2ex,当x>1时判断方程g(x)=x根的个数等价于(x-1)2ex=x当x>1时根的个数
设h(x)=(x-1)2ex-x(x>1),则h′(x)=(x2-1)ex-1,
再设k(x)(x2-1)ex-1(x>1),则k′(x)=(x2+2x-1)ex
当x>1时,k′(x)>1,即k(x)在(1,+∞)单调递增
∵k(1)=-1<0,k(2)=3e2-1>0
∴在(1,2)上存在唯一x0,使k(x0)=0,即存在唯一x0∈(1,2),使h′(x0)=0
函数h(x)在(1,x0)上,h′(x0)<0,函数单调减,在(x0,+∞)上,h′(x0)>0,函数单调增,
∴h(x)min=h(x0)<h(1)=-1<0
∵h(2)=e2-2>0
y=h(x)的大致图象如图,
由此可得y=h(x)在(1,+∞)上只有一个零点,即g(x)=x,x>1时只有1个实根.
举一反三
已知函数f(x)=
1+lnx
x

(1)设a>0,若函数f(x)在区间(a,a+
1
2
)上存在极值,求实数a的取值范围;
(2)如果当x≥1时,不等式f(x)≥
k2-k
x+1
恒成立,求实数k的取值范围.
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已知三次函数f(x)的导函数f′(x)=3x2-3ax,f(0)=b,(a、b实数).若f(x)在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2,1,且1<a<2,求函数f(x)的解析式.
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若函数f(x)=3x-x3在区间(a-1,a)上有最小值,则实数a的取值范围是______.
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函数f(x)=
1
3
x3-2x2+3x-2在区间[0,2]上最大值与最小值的和为______.
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已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)如果对任意x∈[2,+∞),不等式f(x)>x+x2恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设n∈N*,求证:(
1
n
n+(
2
n
n+(
3
n
n+…+(
n
n
n
e
e-1
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