已知函数f(x)=1+lnxx.(1)设a>0,若函数f(x)在区间(a,a+12)上存在极值,求实数a的取值范围;(2)如果当x≥1时,不等式f(x)≥k2-
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已知函数f(x)=1+lnxx.(1)设a>0,若函数f(x)在区间(a,a+12)上存在极值,求实数a的取值范围;(2)如果当x≥1时,不等式f(x)≥k2-
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=
1+lnx
x
.
(1)设a>0,若函数f(x)在区间(a,a+
1
2
)上存在极值,求实数a的取值范围;
(2)如果当x≥1时,不等式f(x)≥
k
2
-k
x+1
恒成立,求实数k的取值范围.
答案
(1)因为
f(x)=
1+lnx
x
,则
f′(x)=-
lnx
x
2
(x>0)
,
当0<x<1时,f"(x)>0;当x>1时,f"(x)<0.
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
所以f(x)在x=1处取得极大值.
因为f(x)在区间
(a,a+
1
2
)
(其中a>0)上存在极值,
所以
a<1
a+
1
2
>1
,解得
1
2
<a<1
.
(2)不等式
f(x)≥
k
2
-k
x+1
,即
(x+1)(1+lnx)
x
≥
k
2
-k
.
设
g(x)=
(x+1)(1+lnx)
x
,则
g′(x)=
x
2
-lnx
x
2
.
令h(x)=x
2
-lnx,则
h′(x)=1-
1
x
.
因为x≥1,所以h"(x)≥0,则h(x)在[1,+∞)上单调递增.
所以h(x)得最小值为h(1)=1>0,从而g"(x)>0,
故g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)得最小值为g(1)=2,
所以k
2
-k≤2,解得-1≤k≤2.
举一反三
已知三次函数f(x)的导函数f′(x)=3x
2
-3ax,f(0)=b,(a、b实数).若f(x)在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2,1,且1<a<2,求函数f(x)的解析式.
题型:不详
难度:
|
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若函数f(x)=3x-x
3
在区间(a-1,a)上有最小值,则实数a的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)=
1
3
x
3
-2x
2
+3x-2在区间[0,2]上最大值与最小值的和为______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=e
x
-ax(e为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)如果对任意x∈[2,+∞),不等式f(x)>x+x
2
恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设n∈N
*
,求证:(
1
n
)
n
+(
2
n
)
n
+(
3
n
)
n
+…+(
n
n
)
n
<
e
e-1
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
2
+2|lnx-1|.
(1)求函数y=f(x)的最小值;
(2)证明:对任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)对于函数f(x)图象上的不同两点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)(x
1
<x
2
),如果在函数f(x)图象上存在点M(x
0
,y
0
)(其中x
0
∈(x
1
,x
2
))使得点M处的切线l
∥
AB,则称直线AB存在“伴侣切线”.特别地,当x
0
=
x
1
+
x
2
2
时,又称直线AB存在“中值伴侣切线”.试问:当x≥e时,对于函数f(x)图象上不同两点A、B,直线AB是否存在“中值伴侣切线”?证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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