(I)由题意,可知动点P的轨迹是焦点在y轴上的双曲线的上半支, 其中c=,2a=4, ∴b=1, ∴曲线E的方程是-x2=1(y≥2). (II)设Q(x1,y1),R(x2,y2),(y1,y2>0), 由,得(1-)y2+y-8=0, 当1-=0,即k=±2时,显然不符合题意, ∴1-≠0. ∴, 解得<k<2. ∵x1•x2=-+1=1, ∴•=x1x2+y1y2 =1+ =1- =-7+. ∵<k<2, ∴0<4-k2<2, ∴>, ∴•∈(9,+∞). (III)(文科做)∵曲线E的方程是-x2=1(y≥2), ∴双曲线的两条渐近线方程为y=±2x. ∵=λ,且λ>0, ∴点P必内分线段AB, 故点A,B均在x轴上方, 不妨设xA>0,xB<0, 即A(xA,2xA),B(xB,-2xB), 由=λ,得P点的坐标为(,), 将P点坐标代入-x2=1中, 化简,得xA•xB==-(λ++2). ∴|xA•xB|=(λ++2),λ∈[,2] ∵λ+≥2,当且仅当λ=1时,等号成立. ∴|xA•xB|min=1. (理科做))∵曲线E的方程是-x2=1(y≥2), ∴双曲线的两条渐近线方程为y=±2x. ∵=λ,且λ>0, ∴点P必内分线段AB, 故点A,B均在x轴上方, 设A(m,2m),B(-n,2n),m>0.n>0. 由=λ,得点P的坐标为(,). 将点P的从标代入-x2=1中, 化简,得mn=. 设∠AOB=2θ, ∵tan(-θ)=2, ∴tanθ=,sin2θ=, ∵|OA|=m,|OB|=n, ∴S△AOB=|OA|•|OB|•sin2θ =2mn =(λ+)+1. ∵λ∈[,2], ∴λ+∈[2,], ∴S△AOB∈ [2,]. ∴△ABC面积的最大值为. |