设函数f(x)=x22-2ax+3lnx.(0<a<3)(1)当a=2时,求函数f(x)=x22-2ax+3lnx的单调区间.(2)当x∈[1,+∞)时,若f(
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设函数f(x)=x22-2ax+3lnx.(0<a<3)(1)当a=2时,求函数f(x)=x22-2ax+3lnx的单调区间.(2)当x∈[1,+∞)时,若f(
题型:不详
难度:
来源:
设函数f(x)=
x
2
2
-2ax+3lnx.(0<a<3)
(1)当a=2时,求函数f(x)=
x
2
2
-2ax+3lnx的单调区间.
(2)当x∈[1,+∞)时,若f(x)≥-5xlnx+3lnx-
3
2
恒成立,求a的取值范围.
答案
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
当a=2时,f′(x)=
(x-3)(x-1)
x
,
当x∈(0,1]时,f′(x)>0,f(x)为增函数.
当x∈(1,3]时,f′(x)<0,f(x)为减函数.
当x∈(3,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.
∴函数f(x)单调增区间为(0,1],(3,+∞),单调减区间为(1,3];
(2)∵f(x)≥-5xlnx+3lnx-
3
2
,
∴
x
2
2
-2ax+5xlnx+
3
2
≥0,
∵x∈[1,+∞),
∴
x
2
2
+5xlnx+
3
2
≥2ax,
∴
x
4
+
5lnx
2
+
3
4x
≥a,
令g(x)=
x
4
+
5lnx
2
+
3
4x
,则g′(x)=
x
2
+10x-3
4
x
2
,
∵x∈[1,+∞),
∴x
2
+10x-3>0,
∴x∈[1,+∞)时,g′(x)>0,
∴g(x)在x∈[1,+∞)上为增函数,
∴g(x)≥g(1)
1
4
+
3
4
=1≥a,
∴0<a≤1.
举一反三
若规定
.
a
b
c
d
.
=ad-bc
,不等式
.
x+1
x
m
x-1
.
≥-2
对一切x∈(0,1]恒成立,则实数m的最大值为( )
A.0
B.2
C.
5
2
D.3
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=ax-lnx,
g(x)=
lnx
x
,它们的定义域都是(0,e],其中e≈2.718,a∈R
( I)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
( II)当a=1时,对任意x
1
,x
2
∈(0,e],求证:
f(
x
1
)>g(
x
2
)+
17
27
( III)令h(x)=f(x)-g(x)•x,问是否存在实数a使得h(x)的最小值是3,如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知f(x)=x
3
+3x
2
+a(a为常数)在[-3,3]上有最小值3,求f(x)在[-3,3]上的最大值?
题型:不详
难度:
|
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已知f(x)=
1
3
a
x
3
+
1
2
b
x
2
+cx+d的图象过原点,且在点(-1,f(-1))处的切线与x轴平行.对任意x∈R,都有x≤f′(x)≤
1
2
(
x
2
+1)
.
(1)求函数y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率;
(2)求f(x)的解析式;
(3)设g(x)=12f(x)-4x
2
-3x-3,
h(x)=
m
x
+x•lnx,对任意
x
1
,
x
2
∈[
1
2
,2]
,都有h(x
1
)≥g(x
2
),求实数m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=-x
3
+x
2
+b,g(x)=alnx.
(1)若f(x)在
x∈[-
1
2
,1)
上的最大值为
3
8
,求实数b的值;
(2)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x
2
+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设
F(x)=
f(x),x<1
g(x),x≥1
,对任意给定的正实数a,曲线y=F(x)上是否存在两点P、Q,使得△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由.
题型:不详
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|
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