已知函数f(x)=-x3+x2+b,g(x)=alnx.(1)若f(x)在x∈[-12,1)上的最大值为38,求实数b的值;(2)若对任意x∈[1,e],都有g

已知函数f(x)=-x3+x2+b,g(x)=alnx.(1)若f(x)在x∈[-12,1)上的最大值为38,求实数b的值;(2)若对任意x∈[1,e],都有g

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已知函数f(x)=-x3+x2+b,g(x)=alnx.
(1)若f(x)在x∈[-
1
2
,1)
上的最大值为
3
8
,求实数b的值;
(2)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设F(x)=





f(x),x<1
g(x),x≥1
,对任意给定的正实数a,曲线y=F(x)上是否存在两点P、Q,使得△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由.
答案
(1)由f(x)=-x3+x2+b,得f′(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),
令f′(x)=0,得x=0或
2
3

列表如下:
举一反三
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x-
1
2
(-
1
2
,0)
0(0,
2
3
)
2
3
(
2
3
,1)
f′(x)-0+0-
f(x)f(-
1
2
)
极小值极大值
某商品每件成本5元,售价14元,每星期卖出75件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数m与商品单价的降低值x(单位:元,0≤x<9)的平方成正比,已知商品单价降低1元时,一星期多卖出5件.
(1)将一星期的商品销售利润y表示成x的函数;
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?
已知x=1是函数f(x)=x3-ax(a为参数)的一个极值点.
(1)求a的值;
(2)求x∈[0,2]时,函数f(x)的最大值与最小值.
一出租车每小时耗油的费用与其车速的立方成正比,当车速为80km/h时,该车耗油的费用为8元/h,其他费用为12元/h.甲乙两地的公路里程为160km,在不考虑其他因素的前提下,为了使该车开往乙地的总费用最低,该车的车速应当确定为多少公里/小时?
设函数f(x)=
1
2
x2ex

(1)求该函数的单调区间;
(2)若当x∈[-2,2]时,不等式f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围.
函数f(x)=2x2-
1
3
x3
在区间[0,6]上的最大值是(  )
A.
32
3
B.
16
3
C.12D.9