某化工企业生产某种产品,生产每件产品的成本为3元,根据市场调查,预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时,一年的产量为(11-x)2万件;若该企业所生产的产
题型:不详难度:来源:
某化工企业生产某种产品,生产每件产品的成本为3元,根据市场调查,预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时,一年的产量为(11-x)2万件;若该企业所生产的产品能全部销售,则称该企业正常生产;但为了保护环境,用于污染治理的费用与产量成正比,比例系数为常数a(1≤a≤3). (Ⅰ)求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式; (Ⅱ)当每件产品的出厂价定为多少元时,企业一年的利润最大,并求最大利润. |
答案
(Ⅰ)依题意,L(x)=(x-3)(11-x)2-a(11-x)2 =(x-3-a)(11-x)2,x∈[7,10]. (Ⅱ)∵L′(x)=(11-x)2-2(x-3-a)(11-x)=(11-x)(11-x-2x+6+2a) =(11-x )(17+2a-3x). 由L′(x)=0,得x=11∉[7,10]或x=. ∵1≤a≤3,∴≤≤. 在x=的两侧L′(x)由正变负, 故①当≤≤7,即1≤a≤2时,L′(x)在[7,10]上恒为负, ∴L(x)在[7,10]上为减函数. ∴[L(x)]max=L(7)=16(4-a). ②当7<≤,即2<a≤3时,[L(x)]max=L()=(8-a)3, 故1≤a≤2时,则当每件产品出厂价为7元时,年利润最大,为16(4-a)万元.当2<a≤3时,则每件产品出厂价为元时,年利润最大,为(8-a)3万元. |
举一反三
已知函数f(x)=ax3-3x+1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立.则实数a的取值范围是______. |
已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R), (1)若函数y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为1,求a的值; (2)在(1)的条件下,对任意t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2[+f′(x)]在区间(t,3)总存在极值,求m的取值范围; (3)若a=2,对于函数h(x)=(p-2)x--3在[1,e]上至少存在一个x0使得h(x0)>f(x0)成立,求实数P的取值范围. |
有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的两侧,乙厂位于离河岸40km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a元和5a元,问供水站C建在何处才能使水管费用最省? |
已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1. (Ⅰ)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围; (Ⅱ)证明:(x-1)f(x)≥0. |
已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0. (1)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合; (2)在函数f(x)的图象上取定点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为K,证明:存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=K恒成立. |
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