已知函数f（x）=ax3-3x+1对x∈（0，1]总有f（x）≥0成立．则实数a的取值范围是______．

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已知函数f（x）=ax³-3x+1对x∈（0，1]总有f（x）≥0成立．则实数a的取值范围是______．

答案

当x∈（0，1]时，不等式ax³-3x+1≥0可化为a≥

3x-1

，
设g（x）=

3x-1

，x∈（0，1]，
g′（x）=

3x3-(3x-1)×3x2

6(x-

)

，
g′（x）与g（x）随x变化情况如下：

因此g（x）的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，+∞）．
故答案为：[4，+∞）

举一反三

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R），
（1）若函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，求a的值；
（2）在（1）的条件下，对任意t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[

+f′（x）]在区间（t，3）总存在极值，求m的取值范围；
（3）若a=2，对于函数h（x）=（p-2）x-

p+2e

-3在[1，e]上至少存在一个x₀使得h（x₀）＞f（x₀）成立，求实数P的取值范围．

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有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a元和5a元，问供水站C建在何处才能使水管费用最省？

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已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（Ⅰ）若xf′（x）≤x²+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．

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已知函数f（x）=e^x-ax，其中a＞0．
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；
（2）在函数f（x）的图象上取定点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），记直线AB的斜率为K，证明：存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）=K恒成立．

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如图，由y=0，x=8，y=x²围成了曲边三角形OAB，M为曲线弧OB上一点，
设M点的横坐标为x₀，过M作y=x²的切线PQ
（1）求PQ所在直线的方程（用x₀表示）；
（2）当PQ与OA，AB围成的三角形PQA面积最大时，求x₀．

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