(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(-1,+∞), 函数f(x)的导数f"(x)=-2x+, 令f"(x)>0则>2x, 解得<x<, 令f"(x)<0则<2x, 解得x>或x<, ∵x>-1, ∴f(x)的单调增区间为(-1,), 单调减区间为(,+∞); (Ⅱ)不等式f(x)>-x2 即1-x2+ln(x+1)>-x2,即1+ln(x+1)>, 即(x+1)[1+ln(x+1)]>kx(k∈N*)在(0,+∞)上恒成立, 令g(x)=(x+1))[1+ln(x+1)]-kx,则 g"(x)=2+ln(x+1)-k, ∵x>0,∴2+ln(x+1)>2, 若k≤2,则g"(x)>0,即g(x)在(0,+∞)上递增, ∴g(x)>g(0)即g(x)>1>0, ∴(x+1)[1+ln(x+1)]>kx(k∈N*)在(0,+∞)上恒成立; 若k>2则g(x)不为单调函数. 故k的最大值为2. |