已知F1、F2是椭圆x2a2+y2(10-a)2=1(5<a<10)的两个焦点,B是短轴的一个端点,则△F1BF2的面积的最大值是______.

已知F1、F2是椭圆x2a2+y2(10-a)2=1(5<a<10)的两个焦点,B是短轴的一个端点,则△F1BF2的面积的最大值是______.

题型:不详难度:来源:
已知F1、F2是椭圆
x2
a2
+
y2
(10-a)2
=1(5<a<10)的两个焦点,B是短轴的一个端点,则△F1BF2的面积的最大值是______.
答案
由题得:椭圆焦点在X轴上且c2=a2-(10-a)2=20a-100⇒c=


20a-100

∵F1、F2是椭圆
x2
a2
+
y2
(10-a)2
=1(5<a<10)的两个焦点,B是短轴的一个端点
∴△F1BF2的面积:S=
1
2
|F1F2|•b=
1
2
•2c•b=bc=(10-a)•


20a-100
=


(10-a) 2(20a-100)

令y=(10-a)2(20a-100)=20(a3-25a2+200a-500),
∴y=20(3a2-50a+200)=20(a-10)(3a-20)
所以当a<
20
3
或a>10时y′>0;
20
3
<a<10时y<0.
∴当a=
20
3
时,y有最大值,
所以ymax=20×[(
20
3
)
3
-25×(
20
3
)
2
+200×
20
3
-500]=
10000
27

∴Smax=


10000
27
=
100


3
9

故答案为:
100


3
9
举一反三
已知函数f(x)=
ln(x+1)
x+1

(1)求函数f(x)的最大值;
(2)设函数g(x)=
x
(x+1)


x+1
,证明:当x>0时,函数f(x)的图象总在函数g(x)图象的下方.
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已知函数f(x)=x3+ax2-x+6,且a=f′(
2
3
)

(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值.
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已知函数f(x)=
1
2
x2+1nx.
(Ⅰ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值;
(Ⅱ)设g(x)=f(x),求证:[g(x)]n-g(xn)≥2n-2(n∈N+).
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设函数f(x)=(x-a)ex+(a-1)x+a,a∈R.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)(i)设g(x)是f(x)的导函数,证明:当a>2时,在(0,+∞)上恰有一个x0使得g(x0)=0;
(ii)求实数a的取值范围,使得对任意的x∈[0,2],恒有f(x)≤0成立.注:e为自然对数的底数.
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已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象经过原点,f′(1)=0,曲线y=f(x)在原点处的切线到直线y=2x+3的角为135°.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对于任意实数α和β,不等式|f(2sinα)-f(2sinβ)|≤m恒成立,求m的最小值.
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