已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x3+mx2-nx（m，n为实数）．（1）若x=1是函数y=g（x）的一个极值点，求m与n的关系式；（2）在（1）的条件下

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x³+mx²-nx（m，n为实数）．
（1）若x=1是函数y=g（x）的一个极值点，求m与n的关系式；
（2）在（1）的条件下，求函数g（x）的单调递增区间；
（3）若关于x的不等式2f（x）≤g"（x）+1+n的解集为P，且（0，+∞）⊆P，求实数m的取值范围．

答案

（1）g"（x）=3x²+2mx-n，
由题意得

g′(1)=0 4m2+12n＞0

，∴n=2m+3（m≠-3）．
（2）由（1）知：g"（x）=3x²+2mx-（2m+3）=（x-1）[3x+（2m+3）]，
令g"（x）=0，得x1=1，x2=-1-

2m

3

(m≠-3)
①当1＞-1-

2m

3

，即m＞-3时，由g"（x）＞0得x＜-1-

2m

3

或x＞1，
∴g（x）的单调递增区间是(-∞，-1-

2m

3

)，(1，+∞)；  
②当1＜-1-

2m

3

，即m＜-3时，由g"（x）＞0得x＜1或x＞-1-

2m

3

，
∴g（x）的单调递增区间是(-∞，1)，(-1-

2m

3

，+∞)．
（3）由（0，+∞）⊆P得2f（x）≤g"（x）+1+n在x∈（0，+∞）上恒成立，
即：2xlnx≤3x²+2mx+1在x∈（0，+∞）上恒成立，
可得m≥lnx-

3

2

x-

1

2x

在x∈（0，+∞）上恒成立，
设h(x)=lnx-

3

2

x-

1

2x

，
则h′(x)=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

，
令h"（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍），
∵当0＜x＜1时，h"（x）＞0，h（x）在（0，1）上单调递增；
当x＞1时，h"（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，
∴m≥-2，即m的取值范围是[-2，+∞）