要制作一个容积为96πm3的圆柱形水池,已知池底的造价为30元/m2,池子侧面造价为20元/m2.如果不计其他费用,问如何设计,才能使建造水池的成本最低?最低成

要制作一个容积为96πm3的圆柱形水池,已知池底的造价为30元/m2,池子侧面造价为20元/m2.如果不计其他费用,问如何设计,才能使建造水池的成本最低?最低成

题型:不详难度:来源:
要制作一个容积为96πm3的圆柱形水池,已知池底的造价为30元/m2,池子侧面造价为20元/m2.如果不计其他费用,问如何设计,才能使建造水池的成本最低?最低成本是多少?
答案
设池底半径为r,池高为h,成本为y,则:
96π=πr2h⇒h=
96
r2
 …(2分)
y=30πr2+20×2πrh=10πr(3r+4h)=30π(r2+
128
r
) …(4分)
y"=30π(2r-
128
r2
)         …(5分)
令y"=30π(2r-
128
r2
)=0,得r=4,h=6 …(6分)
又r<4时,y"<0,y=30π(r2+
128
r
)是减函数; …(7分)
r>4时,y">0,y=30π(r2+
128
r
)是增函数; …(8分)
所以r=4时,y=30π(r2+
128
r
)的值最小,最小值为1440π…(9分)
答:当池底半径为4米,桶高为6米时,成本最低,最低成本为1440π元.…(10分)
举一反三
已知f(x)=x3-2x2+1x∈[-1,2],求f(x)的最值 (要有详细的解题过程)
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函数f(x)=3x-4x3,x∈[0,1]的最大值为______.
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求函数f(x)=x+2cosx在区间[0,
π
2
]
上的值域.
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函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值是______.
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函数f(x)=
1
3
x3-4x+4
在区间[-3,4]上的最小值为(  )
A.-
1
2
B.-12C.-1
1
3
D.-9
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