已知函数f(x)=12x2-3x-34．定义函数f（x）与实数m的一种符号运算为m⊗f（x）=f（x）•[f（x+m）-f（x）]．（1）求使函数值f（x）大于

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已知函数f(x)=12x2-3x-34．定义函数f（x）与实数m的一种符号运算为m⊗f（x）=f（x）•[f（x+m）-f（x）]．（1）求使函数值f（x）大于

题型：不详难度：来源：
已知函数f(x)=
1
2
x2-3x-
3
4
．定义函数f（x）与实数m的一种符号运算为m⊗f（x）=f（x）•[f（x+m）-f（x）]．
（1）求使函数值f（x）大于0的x的取值范围；
（2）若g(x)=4⊗f(x)+
7
2
x2，求g（x）在区间[0，4]上的最大值与最小值；
（3）是否存在一个数列{an}，使得其前n项和Sn=4⊗f(n)+
7
2
n2．若存在，求出其通项；若不存在，请说明理由．
答案
（1）由f（x）＞0，得
1
2
x2-3x-
3
4
＞0，…（1分）
即2x2-12x-3＞0，解得x＜3-


42
2
或x＞3+


42
2
．
所以，x的取值范围为 (-∞，3-


42
2
)∪(3+


42
2
，+∞)．…（3分）
（2）g(x)=4⊗f(x)+
7
2
x2=(
1
2
x2-3x-
3
4
)•{[
1
2
(x+4)2-3(x+4)-
3
4
]-(
1
2
x2-3x-
3
4
)}+
7
2
x2=(
1
2
x2-3x-
3
4
)•(
1
2
×8x+
1
2
×16-3×4)+
7
2
x2=(
1
2
x2-3x-
3
4
)•(4x-4)+
7
2
x2=2x3-
21
2
x2+9x+3．…（5分）
对g（x）求导，得g"（x）=6x2-21x+9=3（x-3）（2x-1）．
令g"（x）=0，解得x=
1
2
或x=3．…（6分）
当x变化时，g"（x）、g（x）的变化情况如下表：
举一反三
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x0(0，
1
2
)
1
2
(
1
2
，3)		3（3，4）4
g"（x）+0-0+
g（x）3↗
41
8
↘-
21
2
↗-1
要制作一个容积为96πm3的圆柱形水池，已知池底的造价为30元/m2，池子侧面造价为20元/m2．如果不计其他费用，问如何设计，才能使建造水池的成本最低？最低成本是多少？
已知f（x）=x3-2x2+1x∈[-1，2]，求f（x）的最值 （要有详细的解题过程）
函数f（x）=3x-4x3，x∈[0，1]的最大值为______．
求函数f（x）=x+2cosx在区间[0，
π
2
]上的值域．
函数f（x）=x3-3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值是______．