已知函数f(x)=lnxx-1(1)试判断函数f(x)的单调性;(2)设m>0,求f(x)在[m,2m]上的最大值;(3)试证明:对∀n∈N*,不等式ln(1+
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已知函数f(x)=lnxx-1(1)试判断函数f(x)的单调性;(2)设m>0,求f(x)在[m,2m]上的最大值;(3)试证明:对∀n∈N*,不等式ln(1+
题型:河南模拟
难度:
来源:
已知函数
f(x)=
lnx
x
-1
(1)试判断函数f(x)的单调性;
(2)设m>0,求f(x)在[m,2m]上的最大值;
(3)试证明:对∀n∈N
*
,不等式
ln(
1+n
n
)
e
<
1+n
n
.
答案
(1)函数f(x)的定义域是:(0,+∞)
由已知
f
′
(x)=
1-lnx
x
2
令f′(x)=0得,1-lnx=0,∴x=e
∵当0<x<e时,
f
′
(x)=
1-lnx
x
2
>0
,
当x>e时,
f
′
(x)=
1-lnx
x
2
<0
∴函数f(x)在(0,e]上单调递增,在[e,+∞)上单调递减,
(2)由(1)知函数f(x)在(0,e]上单调递增,在[e,+∞)上单调递减
故①当0<2m≤e即
0<m≤
e
2
时,f(x)在[m,2m]上单调递增
∴
f
(x)
max
=f(2m)=
ln(2m)
2m
-1
,
②当m≥e时,f(x)在[m,2m]上单调递减
∴
f(x
)
max
=f(m)=
lnm
m
-1
,
③当m<e<2m,即
e
2
<m<e
时
∴
f(x
)
max
=f(e)=
1
e
-1
.
(3)由(1)知,当x∈(0,+∞)时,
f(x
)
max
=f(e)=
1
e
-1
,
∴在(0,+∞)上恒有
f(x)=
lnx
x
-1≤
1
e
-1
,
即
lnx
x
≤
1
e
且当x=e时“=”成立,
∴对∀x∈(0,+∞)恒有
lnx≤
1
e
x
,
∵
1+n
n
>0,
1+n
n
≠e
,
∴
ln
1+n
n
<
1
e
•
1+n
n
⇒ln(
1+n
n
)
e
<
1+n
n
即对∀n∈N
*
,不等式
ln(
1+n
n
)
e
<
1+n
n
恒成立.
举一反三
函数f(x)=x-lnx的最小值为______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
-1
e
x
的定义域是(0,+∞).
(1)求函数f(x)在[m,m+1](m>0)上的最小值;
(2)∀x∈(0,+∞),不等式xf(x)>-x
2
+λx-1恒成立,求实数λ的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=e
x
-x(e为自然对数的底数)
(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(Ⅱ)设不等式f(x)>ax的解集为P,且{x|0≤x≤2}⊆P,求实数a的取值范围;
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x
3
+mx
2
-nx(m,n为实数).
(1)若x=1是函数y=g(x)的一个极值点,求m与n的关系式;
(2)在(1)的条件下,求函数g(x)的单调递增区间;
(3)若关于x的不等式2f(x)≤g"(x)+1+n的解集为P,且(0,+∞)⊆P,求实数m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
若函数f(x)=x
3
-3x-a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N,则M-N的值为( )
A.2
B.4
C.18
D.20
题型:不详
难度:
|
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