已知函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数)(Ⅰ)求f(x)的最小值;(Ⅱ)设不等式f(x)>ax的解集为P,且{x|0≤x≤2}⊆P,求实数a的取值范围;
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已知函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数) (Ⅰ)求f(x)的最小值; (Ⅱ)设不等式f(x)>ax的解集为P,且{x|0≤x≤2}⊆P,求实数a的取值范围; |
答案
(Ⅰ)f(x)的导数f′(x)=ex-1 令f′(x)>0,解得x>0;令f′(x)<0, 解得x<0.(2分) 从而f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增. 所以,当x=0时,f(x)取得最小值1.(5分) (II)因为不等式f(x)>ax的解集为P,且{x|0≤x≤2}⊆P, 所以,对任意的x∈[0,2],不等式f(x)>ax恒成立,(6分) 由f(x)>ax,得(1+a)x<ex 当x=0时,上述不等式显然成立, 故只需考虑x∈(0,2]的情况.(7分) 将(1+a)x<ex变形为a<-1(8分) 令g(x)=-1,则g′(x)= 令g′(x)>0,解得x>1;令g′(x)<0,解得x<1.(10分) 从而g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,2)内单调递增. 所以,当x=1时,g(x)取得最小值e-1,从而, 所求实数a的取值范围是(-∞,e-1).(12分) |
举一反三
已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x3+mx2-nx(m,n为实数). (1)若x=1是函数y=g(x)的一个极值点,求m与n的关系式; (2)在(1)的条件下,求函数g(x)的单调递增区间; (3)若关于x的不等式2f(x)≤g"(x)+1+n的解集为P,且(0,+∞)⊆P,求实数m的取值范围. |
若函数f(x)=x3-3x-a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N,则M-N的值为( ) |
已知函数f(x)=x2-3x-.定义函数f(x)与实数m的一种符号运算为m⊗f(x)=f(x)•[f(x+m)-f(x)]. (1)求使函数值f(x)大于0的x的取值范围; (2)若g(x)=4⊗f(x)+x2,求g(x)在区间[0,4]上的最大值与最小值; (3)是否存在一个数列{an},使得其前n项和Sn=4⊗f(n)+n2.若存在,求出其通项;若不存在,请说明理由. |
要制作一个容积为96πm3的圆柱形水池,已知池底的造价为30元/m2,池子侧面造价为20元/m2.如果不计其他费用,问如何设计,才能使建造水池的成本最低?最低成本是多少? |
已知f(x)=x3-2x2+1x∈[-1,2],求f(x)的最值 (要有详细的解题过程) |
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