已知函数f(x)=x-1ex的定义域是(0,+∞).(1)求函数f(x)在[m,m+1](m>0)上的最小值;(2)∀x∈(0,+∞),不等式xf(x)>-x2
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已知函数f(x)=x-1ex的定义域是(0,+∞). (1)求函数f(x)在[m,m+1](m>0)上的最小值; (2)∀x∈(0,+∞),不等式xf(x)>-x2+λx-1恒成立,求实数λ的取值范围. |
答案
(1)f(x)=,∴f′(x)=. 当x∈(0,1)时,∴f(x)在(0,1]上递减; 当x∈(1,+∞)时,∴f(x)在[1,+∞)上递增. ∴当m≥1时,f(x)在[m,m+1]上递增,f(x)min=f(m)=; 当0<m<1时,f(x)在[m,1]上递减,在[1,m+1]上递增,f(x)min=f(1)=e. ∴f(x)min=. (2)∀x>0,ex>-x2+λx-1恒成立,即λ<+x+恒成立. 由(1)可知,∀x>0,≥e,当且仅当x=1时取等号, 又∀x>0,x+≥2,当且仅当x=1时取等号, ∴当且仅当x=1时,有(+x+)min=e+2. ∴λ<e+2. |
举一反三
已知函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数) (Ⅰ)求f(x)的最小值; (Ⅱ)设不等式f(x)>ax的解集为P,且{x|0≤x≤2}⊆P,求实数a的取值范围; |
已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x3+mx2-nx(m,n为实数). (1)若x=1是函数y=g(x)的一个极值点,求m与n的关系式; (2)在(1)的条件下,求函数g(x)的单调递增区间; (3)若关于x的不等式2f(x)≤g"(x)+1+n的解集为P,且(0,+∞)⊆P,求实数m的取值范围. |
若函数f(x)=x3-3x-a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N,则M-N的值为( ) |
已知函数f(x)=x2-3x-.定义函数f(x)与实数m的一种符号运算为m⊗f(x)=f(x)•[f(x+m)-f(x)]. (1)求使函数值f(x)大于0的x的取值范围; (2)若g(x)=4⊗f(x)+x2,求g(x)在区间[0,4]上的最大值与最小值; (3)是否存在一个数列{an},使得其前n项和Sn=4⊗f(n)+n2.若存在,求出其通项;若不存在,请说明理由. |
要制作一个容积为96πm3的圆柱形水池,已知池底的造价为30元/m2,池子侧面造价为20元/m2.如果不计其他费用,问如何设计,才能使建造水池的成本最低?最低成本是多少? |
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