(1)函数定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),∵f′(x)=2[(x+1)-]=, 由f"(x)>0,得-2<x<-1或x>0,由f"(x)<0,得x<-2或-1<x<0. 则递增区间是(-2,-1),(0,+∞),递减区间是(-∞,-2),(-1,0).------------(4分) (2)由f′(x)==0,得x=0或x=-2 由(1)知,f(x)在[-1,0]上递减,在[0,e-1]上递增-------------(6分) 又f(-1)=+2,f(e-1)=e2-2,且e2-2>+2 ∴x∈[-1,e-1]时,[f(x)]max=e2-2, 故m>e2-2时,不等式f(x)<m恒成立-------------------------(9分) (3)方程f(x)=x2+x+a,即x-a+1-ln(1+x)2=0 记g(x)=x-a+1-ln(1+x)2,则g′(x)=1-= 由g"(x)>0,得x<-1或x>1,由g"(x)<0,得-1<x<1. ∴g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增 (11分) 为使f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰好有两个相异的实根,只须g(x)=0在[0,1)和(1,2]上各有一个实根, 于是有{解得2-2ln2<a≤3-2ln3--------(15分) |