(1)h(x)=f(x+1)-g′(x)=ln(x+1)-x+2,x>-1, 所以 h′(x)=-1=. 当-1<x<0时,h′(x)>0;当x>0时,h′(x)<0. 因此,h′(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减. 因此,当x=0时h(x)取得最大值h(0)=2; (2)证明:当0<b<a时,-1<<0, 由(1)知:当-1<x<0时,h(x)<2,即ln(x+1)<x. 因此,有f(a+b)-f(2a)=ln=ln(1+)<. (3)不等式k(x-1)<xf(x)+3g′(x)+4化为k<+2 所以k<+2对任意x>1恒成立. 令g(x)=+2,则g′(x)=, 令h(x)=x-lnx-2(x>1),则 h′(x)=1-=>0, 所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增. 因为h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-2ln2>0, 所以方程h(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4). 当1<x<x0时,h(x)<0,即g′(x)<0,当x>x0时,h(x)>0,即g′(x)>0, 所以函数g(x)=+2在(1,x0),上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增. 所以[g(x)]min=g(x0)=+2=+2=x0+2∈(5,6). 所以k<[g(x)]min=x0+2∈(5,6). 故整数k的最大值是5. |