已知函数f(x)=x3+ax2-a2x+m(a>0)若对任意的a∈[3,6],不等式f(x)≤1在x∈[-2,2]上恒成立,则m的取值范围是______.
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已知函数f(x)=x3+ax2-a2x+m(a>0)若对任意的a∈[3,6],不等式f(x)≤1在x∈[-2,2]上恒成立,则m的取值范围是______. |
答案
求导函数可得:f′(x)=3x2+2ax-a2, 令f′(x)=0,即(3x-a)(x+a)=0,所以x=-a或x= ∵a∈[3,6],x∈[-2,2], 令导数大于0可得x<-a或x>,令导数小于0可得-a<x<,又-a≤-3,∈[1,2] ∴极大值点不在取值范围内,而极小值点在取值范围内. ∴要使不等式f(x)≤1在x∈[-2,2]上恒成立,只要保证x=-2与x=2时的函数值f(x))≤1就可以了. ∵f(-2)=-8+4a+2a2+m,f(2)=8+4a-2a2+m,a∈[3,6], 作差比较得f(-2)>f(2) ∴只要f(-2)≤1即可 即:)=-8+4a+2a2+m≤1,m≤-2a2-4a+9 由a∈[3,6]得,-2a2-4a+9的最小值为-87 ∴m≤-87 |
举一反三
函数y=lnx-x在x∈[,2]上的最大值是______. |
导函数y′=4x2(x-2)在[-2,2]上的最大值为( ) |
若存在实常数k和b,使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知h(x)=x2,φ(x)=2elnx(e为自然对数的底数). (1)求F(x)=h(x)-φ(x)的极值; (2)函数h(x)和φ(x)是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由. |
已知函数f(x)=ax-1nx,若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立,则实数a的范围为______. |
如图,将一块直角三角形板ABO放置于平面直角坐标系中,已知AB=BO=2,AB⊥OB.点P(1,)是三角板内一点,现因三角板中阴影部分(即△POB)受到损坏,要把损坏部分锯掉,可用经过点P的任一直线MN将三角板锯成△AMN,设直线MN的斜率k. (Ⅰ)试用k表示△AMN的面积S,并指出k的取值范围; (Ⅱ)试求S的最大值. |
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