(1)函数f(x)的定义域为(-1,+∞). f′(x)=-1=, 当-1<x<0时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x>0时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 所以当x=0时f(x)取得极大值f(0)=0,无极小值; (2)由(1)知,x=0为f(x)唯一的极大值点,也即最大值点, 所以当x>-1时,f(x)≤f(0)=0,即ln(x+1)-x≤0, 所以ln(x+1)≤x; 令g(x)=ln(x+1)+-1,则g′(x)=-=, 当-1<x<0时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x>0时,g′(x)>0,g(x)单调递增, 所以x=0是g(x)唯一的极小值点,也即最小值点, 所以g(x)≥g(0)=0,即ln(x+1)+-1≥0, 所以ln(x+1)≥1-. 综上,x>-1时,1-≤ln(x+1)≤x; (3)g(x)=,当x>0时,g(x)>恒成立,令x=1有k<2[1+ln2]. 又k为正整数.则k的最大值不大于3. 下面证明当k=3时,f(x)>(x>0)恒成立,即证明x>0时(x+1)ln(x+1)+1-2x>0恒成立. 令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x, 则g′(x)=ln(x+1)-1. 当x>e-1时,g′(x)>0;当0<x<e-1时,g′(x)<0. ∴当x=e-1时,g(x)取得最小值g(e-1)=3-e>0. ∴当x>0时,(x+1)ln(x+1)+1-2x>0恒成立. 因此正整数k的最大值为3. |