（1）求证：若x＞0，则ln（1+x）＞x1+x；（2）若a，b＞0求证：lna-lnb≥1-ba．

题型：不详难度：来源：

（1）求证：若x＞0，则ln（1+x）＞

x

1+x

；
（2）若a，b＞0求证：lna-lnb≥1-

b

a

．

答案

（1）f（x）=ln（1+x）-

x

1+x

，∴f′（x）=

x

(1+x) 2

x＞0时f′（x）＞0，在（0，+∞）上是增函数．
∴x＞0时，f（x）＞f（0）=0，∴ln（1+x）＞

x

1+x

（2）令f（x）=ln（1+x）-

x

1+x

，
由（1），f（x）在x=0处取得最小值．
即ln（1+x）-

x

1+x

≥0
∴而lna-lnb-1+

b

a

=ln

a

b

+

b

a

-1=f（

a

b

-1)
∴lna-lnb-1+

b

a

≥0
即lna-lnb≥1-

b

a

．