把长240cm，宽90cm的矩形铁皮的四角切去相等的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，角上切去的正方形的边长为多少时，盒子的容积最大．最大容积是多少？
题型：不详难度：来源：
| 把长240cm，宽90cm的矩形铁皮的四角切去相等的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，角上切去的正方形的边长为多少时，盒子的容积最大．最大容积是多少？ |
答案
设切去的正方形的边长为xcm，则折成的无盖的长方体 底面边长为（240-2x）cm和（90-2x）cm（2分），
高为xcm，于是盒子的容积（单位：cm3）V=（240-2x）（90-2x）x=4x3-660x2+21600x（4分）
又由x＞0，90-2x＞0，240-2x＞0，得0＜x＜45．V"=12x2-1320x+21600．（6 分）
令V"=0，得x2-110x+1800=0，（x-20）（x-90）=0，由0＜x＜45，解得x=20．（8分）
当0＜x＜20时，V"＞0；20＜x＜45时，V"＜0，因此当x=20时，V有最大值（10分）
最大容积V=200×50×20=200000（cm3）（12分） |
举一反三
| 函数f(x)=∫ox(1-cost)dt，当x∈[，π]的最大值为______． |
设函数f(x)=x-ln(x+)．
（Ⅰ） 讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax3，试求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令an=()6n+ln[()2n+](n∈N*)，试证明：a1+a2+a3+…+an＜． |
| 若函数y=x3-x2+a在[-1，1]上有最大值3，则该函数在[-1，1]上的最小值是______． |
| f（x）=ax3-3x+1对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0成立，则a=______． |
（1）求证：若x＞0，则ln（1+x）＞；
（2）若a，b＞0求证：lna-lnb≥1-． |
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