(Ⅰ)f′(x)=1-,由导数的几何意义得f"(2)=3,于是a=-8. 由切点P(2,f(2))在直线y=3x+1上可得-2+b=7,解得b=9. 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x-+9. (Ⅱ)f′(x)=1-. 当a≤0时,显然f"(x)>0(x≠0).这时f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上内是增函数. 当a>0时,令f"(x)=0,解得x=±. 当x变化时,f"(x),f(x)的变化情况如下表:
所以f(x)在(-∞,-),(,+∞)内是增函数,在(-,0),(0,+∞)内是减函数. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,f(x)在[,1]上的最大值为f()与f(1)的较大者,对于任意的a∈[,2],不等式f(x)≤10在[,1]上恒成立,当且仅当, 即,对任意的a∈[,2]成立. 从而得b≤,所以满足条件的b的取值范围是(-∞,]. |