已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),其中a为常数.(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值;(2)若函数f(x)在区间(-1,0)上是增函

已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),其中a为常数.(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值;(2)若函数f(x)在区间(-1,0)上是增函

题型:攀枝花二模难度:来源:
已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),其中a为常数.
(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值;
(2)若函数f(x)在区间(-1,0)上是增函数,求a的取值范围;
(3)若函数g(x)=f(x)+f′(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求正数a的取值范围.
答案
(1)∵f(x)=ax3-3x2
∴f"(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).
∵x=1是f(x)的一个极值点,
∴f"(1)=0,
∴a=2
(2)①当a=0时,f(x)=-3x2在区间(-1,0)上是增函数,∴a=0符合题意;
②当a≠0时,f"(x)=3ax(x-
2
a
)
,令f"(x)=0得:x1=0,x2=
2
a

当a>0时,对任意x∈(-1,0),f"(x)>0,
∴a>0 (符合题意)
当a<0时,当x∈(
2
a
,0)
时,f"(x)>0,
2
a
≤-1
,∴-2≤a<0(符合题意)
综上所述,a≥-2.
(3)a>0,g(x)=ax3+(3a-3)x2-6x,x∈[0,2].
g"(x)=3ax2+2(3a-3)x-6=3[ax2+2(a-1)x-2],
令g"(x)=0,即ax2+2(a-1)x-2=0(*),显然有△=4a2+4>0.
设方程(*)的两个根为x1,x2,由(*)式得x1x2=-
2
a
<0
,不妨设x1<0<x2
当0<x2<2时,g(x2)为极小值
所以g(x)在[0,2]上的最大值只能为g(0)或g(2)
当x2≥2时,由于g(x)在[0,2]上是单调递减函数
所以最大值为g(0),所以在[0,2]上的最大值只能为g(0)或g(2)
又已知g(x)在x=0处取得最大值
所以g(0)≥g(2)
即0≥20a-24,解得a≤
6
5
,又因为a>0,所以a∈(0,
6
5
]

故答案为:(1)a=2;(2)a≥-2;(3)a∈(0,
6
5
]
举一反三
下列关于函数f(x)=(x2-2x)ex的判断正确的是(  )
①f(x)<0的解集是x|0<x<2
f(-


2
)
是极小值,f(


2
)
是极大值
③f(x)有最小值,没有最大值
④f(x)有最大值,没有最小值.
A.①③B.①②③C.②④D.①②④
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如果在区间[1,2]上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+
1
x2
在同一点取相同的最小值,那么f(x)在该区间上的最大值是(  )
A.4+
11
2
32

+
34

B.4-
5
2
32

+
34

C.1-
1
2
32

+
34

D.以上答案都不对
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函数f(x)=x3-3x2-3在区间[0,3]上的值域是(  )
A.[-7,-3]B.{-3}C.[-5,-3]D.[-10,-3]
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函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值、最小值分别是(  )
A.5,-4B.5,-15C.-4,-15D.5,-16
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已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a(a为常数),在区间[-2,2]上有最大值20,那么此函数在区间[-2,2]上的最小值为(  )
A.-37B.-7C.-5D.-11
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