外贸运动鞋的加工生产中，以美元为结算货币，依据数据统计分析，若加工产品订单的金额为x万美元，可获得加工费近似地为12ln（2x+1）万美元，由于生产加工签约和成

题型：不详难度：来源：

外贸运动鞋的加工生产中，以美元为结算货币，依据数据统计分析，若加工产品订单的金额为x万美元，可获得加工费近似地为

1

2

ln（2x+1）万美元，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx万美元，其中m∈（0，1）为该时段美元的贬值指数，从而实际所得的加工费为f（x）=

1

2

ln（2x+1）-mx万美元．
（Ⅰ）若美元贬值指数m=

1

200

，为确保实际所得加工费随x的增加而增加，加工产品订单的金额x应在什么范围内？
（Ⅱ）若加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为p=

1

20

x万美元，已知加工生产能力为x∈[10，20]（其中x为产品订单的金额），试问美元的贬值指数m为何范围时，加工生产将不会出现亏损（即当x∈[10，20]时，都有f（x）≥p成立）．

答案

（Ⅰ）由已知m=

1

200

，
f(x)=

1

2

ln(2x+1)-

1

200x

，其中x＞0．
所以f′(x)=

1

2x+1

-

1

200

=

199-2x

200(2x+1)

．
由f′（x）＞0，即199-2x＞0，
解得0＜x＜99.5．
即加工产品订单的金额x∈（0，99.5）（单位：万美元）时，实际所得加工费随x的增加而增加．
（Ⅱ）依题意，企业加工生产不出现亏损，则当x∈[10，20]时，都有
f(x)=

1

2

ln(2x+1)-mx≥

1

20

x．
可得

1

20

+m≤

ln(2x+1)

2x

．
令g(x)=

ln(2x+1)

2x

，x∈[10，20]．
则g′(x)=

2 2x+1 x-ln(2x+1)

2x2

=

2x-(2x+1)ln(2x+1)

2x2(2x+1)

．
令h（x）=2x-（2x+1）ln（2x+1）．
则h′(x)=2-[2ln(2x+1)+(2x+1)•

2

2x+1

]=-2ln（2x+1）＜0．
可知h（x）在区间[10，20]上单调递减，h（x）最小值为h（20）=40-41ln41＜0，
最大值为h（10）=20-21ln21＜0，所以当x∈[10，20]时，g′（x）＜0，g（x）在区间[10，20]上单调递减，
因此g(x)min=

ln41

40

，即m≤

ln41

40

-

1

20

．
故当美元的贬值指数m∈(0，

ln41-2

40

)时，加工生产不会亏损．