设f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，求：（1）f（1）；（2）若f（x）+f（x-8）≤2，求x的取
题型：解答题难度：一般来源：不详
设f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，求：
（1）f（1）；
（2）若f（x）+f（x-8）≤2，求x的取值范围． |
答案
（1）令x=y=1有f（1）=f（1）+f（1），故f（1）=0
（2）由f（3）=1可求出f（9）=2，故f（x）+f（x-8）≤2⇔f（x（x-8））≤f（9）
因为f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数
所以x（x-8）≤9且x＞0，（x-8）＞0
解的8＜x≤9
即x的取值范围为（8，9]． |
举一反三
对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫做闭函数．
（Ⅰ）请你举出一个闭函数的例子，并写出它的一个符合条件②的区间[a，b]；
（Ⅱ）求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a，b]；
（Ⅲ）判断函数f(x)=x+ (x＞0)是否为闭函数？并说明理由． |
已知函数y=f（x），x∈N*，y∈N*，满足：①对任意a，b∈N*，a≠b，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；②对任意n∈N*都有f[f（n）]=3n．
（I）试证明：f（x）为N*上的单调增函数；
（II）求f（1）+f（6）+f（28）；
（III）令an=f（3n），n∈N*，试证明：.≤++…+＜． |
| 设函数f(x)=若f（x0）＜1，则x0的取值范围是______． |
已知函数f（x）=|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+m2-7m．
（1）若方程f（x）=|m|在[-4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；
（2）若对任意x1∈（-∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围． |
定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：
（1）2*2010=1； （2）（2n+2）*2010=3×[（2n）*2010]，则2008*2010=______． |
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