对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b];那么把y
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对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b];那么把y
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫做闭函数.
(Ⅰ)请你举出一个闭函数的例子,并写出它的一个符合条件②的区间[a,b];
(Ⅱ)求闭函数y=-x
3
符合条件②的区间[a,b];
(Ⅲ)判断函数
f(x)=
3
4
x+
1
x
(x>0)
是否为闭函数?并说明理由.
答案
(Ⅰ)如f(x)=x,[a,b]=[1,2].
(Ⅱ)由题意,y=-x
3
在[a,b]上递减,则
b=-
a
3
a=-
b
3
b>a
,
解得
a=-1
b=1
.
所以,所求的区间为[-1,1].
(Ⅲ)取x
1
=1,x
2
=10,则
f(
x
1
)=
7
4
<
76
10
=f(
x
2
)
,
即f(x)不是(0,+∞)上的减函数.
取
x
1
=
1
10
,
x
2
=
1
100
,
f(
x
1
)=
3
40
+10<
3
400
+100=f(
x
2
)
,
即f(x)不是(0,+∞)上的增函数.
所以,函数在定义域内既不单调递增也不单调递减,从而该函数不是闭函数.
举一反三
已知函数y=f(x),x∈N
*
,y∈N
*
,满足:①对任意a,b∈N
*
,a≠b,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a);②对任意n∈N
*
都有f[f(n)]=3n.
(I)试证明:f(x)为N
*
上的单调增函数;
(II)求f(1)+f(6)+f(28);
(III)令a
n
=f(3
n
),n∈N
*
,试证明:.
n
4n+2
≤
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n
<
1
4
.
题型:解答题
难度:一般
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设函数
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2
-x
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x
-2
x<0.
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0
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0
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难度:一般
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2
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1
∈(-∞,4],均存在x
2
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1
)>g(x
2
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3
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难度:一般
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