已知函数y=f(x),x∈N*,y∈N*,满足:①对任意a,b∈N*,a≠b,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a);②对任意n∈N*都有f[f(n

已知函数y=f(x),x∈N*,y∈N*,满足:①对任意a,b∈N*,a≠b,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a);②对任意n∈N*都有f[f(n

题型:解答题难度:一般来源:成都模拟
已知函数y=f(x),x∈N*,y∈N*,满足:①对任意a,b∈N*,a≠b,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a);②对任意n∈N*都有f[f(n)]=3n.
(I)试证明:f(x)为N*上的单调增函数;
(II)求f(1)+f(6)+f(28);
(III)令an=f(3n),n∈N*,试证明:.
n
4n+2
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
1
4
答案
(I)由①知,对任意a,b∈N*,a<b,都有(a-b)(f(a)-f(b))>0,
由于a-b<0,从而f(a)<f(b),
所以函数f(x)为N*上的单调增函数.
(II)令f(1)=a,则a≥1,显然a≠1,否则f(f(1))=f(1)=1,与f(f(1))=3矛盾.
从而a>1,而由f(f(1))=3,
即得f(a)=3.
又由(I)知f(a)>f(1)=a,即a<3.
于是得1<a<3,又a∈N*
从而a=2,即f(1)=2.
进而由f(a)=3知,f(2)=3.
于是f(3)=f(f(2))=3×2=6,
f(6)=f(f(3))=3×3=9,
f(9)=f(f(6))=3×6=18,
f(18)=f(f(9))=3×9=27,
f(27)=f(f(18))=3×18=54,
f(54)=f(f(27))=3×27=81,
由于54-27=81-54=27,
而且由(I)知,函数f(x)为单调增函数,
因此f(28)=54+1=55.
从而f(1)+f(6)+f(28)=2+9+55=66.
(III)f(an)=f(f(3n))=3×3n=3n+1,an+1=f(3n+1)=f(f(an))=3an,a1=f(3)=6.
即数列{an}是以6为首项,以3为公比的等比数列.
∴an=6×3n-1=2×3n(n=1,2,3).
于是
1
a1
+
1
a2
++
1
an
=
1
2
(
1
3
+
1
32
++
1
3n
)=
1
2
×
1
3
(1-
1
3n
)
1-
1
3
=
1
4
(1-
1
3n
)

显然
1
4
(1-
1
3n
)<
1
4

另一方面3n=(1+2)n=1+Cn1×2+Cn2×22++Cnn×2n≥1+2n,
从而
1
4
(1-
1
3n
)≥
1
4
(1-
1
2n+1
)=
n
4n+2

综上所述,
n
4n+2
1
a1
+
1
a2
++
1
an
1
4
举一反三
设函数f(x)=





2-x  x≥0
x-2  x<0.
若f(x0)<1,则x0的取值范围是______.
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已知函数f(x)=|x-m|和函数g(x)=x|x-m|+m2-7m.
(1)若方程f(x)=|m|在[-4,+∞)上有两个不同的解,求实数m的取值范围;
(2)若对任意x1∈(-∞,4],均存在x2∈[3,+∞),使得f(x1)>g(x2)成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质:
(1)2*2010=1;  (2)(2n+2)*2010=3×[(2n)*2010],则2008*2010=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=x3+3x2+6x+4,a,b都是实数,且f(a)=14,f(b)=-14,则a+b的值为(  )
A.2B.1C.0D.-2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
若函数y=f(x)的图象与函数y=log2
1
x+1
的图象关于y=x对称,则f(1)=______.
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